指數問題

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\( \LARGE \text{如果} x^{x^{x^{16}}} = 16 \text{，那麼} x^{x^{x^{12}}} \text{會是多少？} \) 將原式改為 \[\LARGE{x^{x^{x^{16}}}=x^{16(\frac{x^{16(\frac{x^{16}}{16})}}{16})}=16}\] 將\(x^{16}\) 以 \(y\) 取代得 \[\LARGE{y^{(\frac{y^{(\frac{y}{16})}}{16})}=16}\] 兩邊同取 \(16\) 次方得 \[\LARGE{y^{y^{(\frac{y}{16})}}=16^{16}}\] 可看出 \(y=16.\) 於是可得\[\LARGE{x^{x^{x^{16}}}=x^{16}=16\Longrightarrow x=16^{\frac{1}{16}}=2^{\frac{1}{4}}}\] \(\LARGE x^{12}=(2^{\frac{1}{4}})^{12}=2^{\frac{12}{4}}=2^3=8\) \(\LARGE x^{x^{12}}=(2^{\frac{1}{4}})^8=2^{\frac{8}{4}}=2^2=4\) \(\LARGE x^{x^{x^{12}}}=(2^{\frac{1}{4}})^4=2^{\frac{4}{4}}=2^1=\boxed{2}\)