排列組合問題

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筆者最近在 brilliant.org 解 Reframing Problems for the AMC 時，看到有一個解題方法，筆者以自己理解的方式詮釋一次。

題目：有五顆相同的籃球要分給三個不同的隊伍，請問有幾種分法？
解法一「個別列出」
假設三個隊伍的名稱為A、B、C，在不考慮排列的情況下，有底下幾種分法(由大到小來組合)：

5 0 0 --> 組合一
4 1 0 --> 組合二
3 2 0 --> 組合三
3 1 1 --> 組合四
2 2 1 --> 組合五

加上排列後，

5 0 0 --> 組合一 ==> 3種排列方式
4 1 0 --> 組合二 ==> 6種排列方式
3 2 0 --> 組合三 ==> 6種排列方式
3 1 1 --> 組合四 ==> 3種排列方式
2 2 1 --> 組合五 ==> 3種排列方式

所以總共有 3 + 6 + 6 + 3 + 3 總分法。

解法二『轉換成組合問題』

這方法是將原本的排列組合問題變成排列問題，請先看下圖：

上圖中圓形代表球，長方形代表分割的地方，由上往下分別對應組合一、組合二、組合三、組合四、組合五。由此圖可以看出，原本的問題可以變成組合問題：【從七個相同的東西選兩個出來，有幾種選法？】答案就變成

 \[\binom{7}{2} = 21\]

那原本的問題有沒有變得容易算出呢？

練習題
有十顆相同的糖果要分給四個不同的小朋友時，請問有幾種分法？
 \[\binom{13}{3} = 286\]

參考資料：
[1] https://brilliant.org/practice/reframing-problems-for-the-amc/?p=6