三角函數觀念與常見公式

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本篇文章整理與三角函數有關的資訊。

三角函數的基本觀念
影片版

文字版：三角函數基本概念
定義整理(取自三角函數- 維基百科)：

${\displaystyle \theta }$的正弦是對邊與斜邊的比值：${\displaystyle \sin {\theta }={\frac {a}{h}}}$

${\displaystyle \theta }$的餘弦是鄰邊與斜邊的比值：${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {b}{h}}}$

${\displaystyle \theta }$的正切是對邊與鄰邊的比值：${\displaystyle \tan {\theta }={\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle \theta }$的餘切是鄰邊與對邊的比值：${\displaystyle \cot {\theta }={\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle \theta }$的正割是斜邊與鄰邊的比值：${\displaystyle \sec {\theta }={\frac {h}{b}}}$

${\displaystyle \theta }$的餘割是斜邊與對邊的比值：${\displaystyle \csc {\theta }={\frac {h}{a}}}$

平方關係

定義整理(取自三角函數- 維基百科)：
由  可導出底下式子

${\displaystyle 1+\cot ^{2}\!x=\csc ^{2}\!x.}$

和角與差角公式

定義整理
和角公式(取自三角函數- 維基百科)：


差角公式(取自三角函數- 維基百科)：


二倍角公式(取自三角函數- 維基百科)：


積化和差(取自三角函數- 維基百科)：

$$ {\displaystyle 2\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}

${\displaystyle 2\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}}$

${\displaystyle 2\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}}$

${\displaystyle 2\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}$

${\displaystyle \tan \theta \tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}}$

和差化積(取自三角函數- 維基百科)：

$$ {\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)}

${\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$