一樣的量，不一樣的數，意義上就不一樣啦。
這段幽默的影片能讓人了解到量與數的不同。
開根號的值
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\(\sqrt{5} - \sqrt{7} 與下列四個選項的值為一樣？\) \( A： \sqrt{7} - \sqrt{5}\)
\( B：\sqrt{12 - 2 \sqrt{35}}\)
\( C：\sqrt{12 + 2 \sqrt{35}}\)
\( D：以上皆非。\)
答案為D。
雖然 \( (\sqrt{5} - \sqrt{7})^2 = 12 - 2 \sqrt{35}\)
但此值為負的實數，與負數開根號(虛根)是不一樣的。
\( B：\sqrt{12 - 2 \sqrt{35}}\)
\( C：\sqrt{12 + 2 \sqrt{35}}\)
\( D：以上皆非。\)
答案為D。
雖然 \( (\sqrt{5} - \sqrt{7})^2 = 12 - 2 \sqrt{35}\)
但此值為負的實數，與負數開根號(虛根)是不一樣的。
等差數列練習題
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求下列數值為多少？ \[\large \frac{200001+200003+200005+\cdots+299999}{1+3+5+7+\cdots+99999} = \ ? \] 此題利用 \[\large S = \frac{ n \times ({a_1 + a_n}) }{2} \] 可求得答案 5。
代數：平方根
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求所有下列式子中，x 的正整數總和 \[\sqrt{x+\sqrt{1024}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}, \] 且\(a\) \(b\) 為正整數。
假設 \(S\) 為所有\(x\)可能解的總和，將式子兩編取平方得到：\(x + \sqrt{1024} = a + b + 2\sqrt{ab}\) ==> \(x - a - b = \sqrt{1024} - \sqrt{4ab}\)
於是可以推論出 \(4ab = 1024\) ==> 如何證明就當成練習囉。
於是 \(x = a + b\) 並且 \(ab = 256\)。只要算出256的因數總和即是此題的答案。又 \(256 = 2^8\)所以 \(\frac{2^9 - 1}{2-1} = 511\)
假設 \(S\) 為所有\(x\)可能解的總和，將式子兩編取平方得到：\(x + \sqrt{1024} = a + b + 2\sqrt{ab}\) ==> \(x - a - b = \sqrt{1024} - \sqrt{4ab}\)
於是可以推論出 \(4ab = 1024\) ==> 如何證明就當成練習囉。
於是 \(x = a + b\) 並且 \(ab = 256\)。只要算出256的因數總和即是此題的答案。又 \(256 = 2^8\)所以 \(\frac{2^9 - 1}{2-1} = 511\)
讀書筆記：忍者式創新
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- 忍者遵守一套行為守則：誠實。
- 忍者會把愛傳出去：己所欲，施於人。
- 忍者借力使力，以其人之道還治其人之身。
- 忍者能機靈地再投資自己。
- 忍者會善加利用周遭環境為自己創造優勢。
- 忍者隨時都在尋找朋友---甚至在敵人裡尋找盟友。
- 忍者有活力也有熱情。
- 忍者永不止息。
要成為一個忍者，必須專心致志，絕對不要妄自菲薄地一口咬定自己絕對不會成功。成功確實得來不易，但垂手可得的東西絕對不可能有價值。
忍者創新者總是想著未來可能發生什麼事，而不是想現在發生什麼事。
忍者會想像未來，並進而著手創造自己想像中的未來。
代數：矩形面積應用
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假設
\[ \large a = 99 , b = 5, c = 19 \]
那下列式子的值為多少？
\[ \large 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc \]
\[ \large (a + 1) \times (b + 1) \times (c + 1) = \]
\[ \large (ab + a + b + 1) \times (c+1) = \]
\[ \large abc + ab + ac + c + bc + b + c + 1\]
所以答案為\[ \large (99 + 1) \times (5 + 1) \times (19 + 1) = \color{blue}{12000} \]
\[ \large a = 99 , b = 5, c = 19 \]
那下列式子的值為多少？
\[ \large 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc \]
\[ \large (a + 1) \times (b + 1) \times (c + 1) = \]
\[ \large (ab + a + b + 1) \times (c+1) = \]
\[ \large abc + ab + ac + c + bc + b + c + 1\]
所以答案為\[ \large (99 + 1) \times (5 + 1) \times (19 + 1) = \color{blue}{12000} \]
數的分類
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以上的內容又可以用底下的圖來輔助[1]：
參考出處：
[1] https://mathequality.wordpress.com/2011/08/02/creating-a-number-set-venn-diagram-poster/
以上的內容又可以用底下的圖來輔助[1]：
參考出處：
[1] https://mathequality.wordpress.com/2011/08/02/creating-a-number-set-venn-diagram-poster/
晉級的蟑螂 VS 唬爛人生
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這世上有一種生物可稱為「英雄」，名為強者，通稱小強。
知道這生物活了多久嗎？
有億萬年的演化歷史！！！
但，就在昨晚，某隻小強進擊了人類，而遇見此人名字的機率有如中大樂透一樣低阿。
唬爛。
你沒看錯，此人名為「唬爛」，且非常怕小強。
正當此人玩平板電腦遊戲玩累了，準備起身站起來時，突然一隻小強飛了出來，往穿著短褲的唬爛胯下攻擊。
當然唬爛不可能坐以待斃，擊出「唬留啃」必殺技，但，強者果然夠厲害，輕輕一飄地閃過致命的一擊，瞬間挺進唬爛的胯下裡了。
男人的寶貝兒快要遭入侵啦！
此時唬爛早已腎上腺素過高，胯下完全沒知覺了，卻也異常冷靜地想：「難道強者是花木蘭轉世的？」
同時，看到此狀的兩個姪女，有如看到偶像般地瘋狂尖叫，搞得唬爛說出：
『歐練叔叔已經怕到沒知覺了耶！你們還在那兒替強者加油！？』
於是唬爛將短褲抖了幾下，小強迅速飛出並躲到紙堆裡去。
憤怒的唬爛心想：『不管是男是女，這位強者死期到啦！』
花了一些時間，兩姪女鼓起勇氣聯手趕出小強，
拿著武器的唬爛，一見到在地板上爬的小強就迅速攻擊。
啪！
就這麼一聲，強者的一生，晉級為王者。
可謂「王者，一條孤獨的不歸路。」
知道這生物活了多久嗎？
有億萬年的演化歷史！！！
但，就在昨晚，某隻小強進擊了人類，而遇見此人名字的機率有如中大樂透一樣低阿。
唬爛。
你沒看錯，此人名為「唬爛」，且非常怕小強。
正當此人玩平板電腦遊戲玩累了，準備起身站起來時，突然一隻小強飛了出來，往穿著短褲的唬爛胯下攻擊。
當然唬爛不可能坐以待斃，擊出「唬留啃」必殺技，但，強者果然夠厲害，輕輕一飄地閃過致命的一擊，瞬間挺進唬爛的胯下裡了。
男人的寶貝兒快要遭入侵啦！
此時唬爛早已腎上腺素過高，胯下完全沒知覺了，卻也異常冷靜地想：「難道強者是花木蘭轉世的？」
同時，看到此狀的兩個姪女，有如看到偶像般地瘋狂尖叫，搞得唬爛說出：
『歐練叔叔已經怕到沒知覺了耶！你們還在那兒替強者加油！？』
於是唬爛將短褲抖了幾下，小強迅速飛出並躲到紙堆裡去。
憤怒的唬爛心想：『不管是男是女，這位強者死期到啦！』
花了一些時間，兩姪女鼓起勇氣聯手趕出小強，
拿著武器的唬爛，一見到在地板上爬的小強就迅速攻擊。
啪！
就這麼一聲，強者的一生，晉級為王者。
可謂「王者，一條孤獨的不歸路。」
數列問題
則此數列的下一個數字為多少？
答案：85 \[ \Large \color{blue}{ a_{2n} = 2 \times a_{2n-1}} \] 以及 \[ \Large \color{pink}{ a_{2n+1} = 2 \times a_{2n} +1} \]
若有一數列如下：\[ \Large \color{green}{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots} \]
則此數列的下一個數字為多少？
答案：55，此為費波那契數(Fibonacci number)
若有一數列如下： \[ \Large \color{green}{0, 3, 8, 15, 24, \ldots} \]
則此數列的下一個數字為多少？
答案：35，\[ \Large \color{blue}{ a_{n} = \sum_{i=2}^{n} {2i-1}} \]
若有一數列如下：\[ \Large \color{green}{1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, \ldots} \]
則此數列的下一個數字為多少？
答案：4，此為質數數列中連續兩個質數的差。
若有一數列如下： \[ \Large \color{green}{3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, \ldots } \]此數列的規則是什麼？
答案：奇數乘以三再加一，偶數除以二。
判斷倍數
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底下是為常見的判斷方法。
判斷是否為 2 的倍數：檢查個位數是否為 0, 2, 4, 6, 8。
判斷是否為 3 的倍數：將每位數的數字相加，看總和是否被3的倍數，例如 123456789 ==> 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45，45 為 3 的倍數，所以123456789為 3 的倍數。
判斷是否為 4 的倍數：檢查最後兩位數是否為 4 的倍數，例如 948574232 的最後兩位數為32，32為4的倍數，所以 948574232 為 4 的倍數。
判斷是否為 5 的倍數：檢查最後一位數是否為0, 5，例如 13424240 的最後一位數為 0 ，13424240 為 5 的倍數。
判斷是否為 6 的倍數：同時為 2 與 3 的倍數者。
判斷是否為 7 的倍數：假設有一整數 \[ \Large n_n n_{n-1} n_{n-2} n_{n-3} ... n_3 n_2 n_1 \]算出 \[ \Large n_1 + n_2 + n_3 + n_7 + n_8 + n_9 + n_{13} + n_{14} + n_{15} ... \] 與 \[ \Large n_4 + n_5 + n_6 + n_{10} + n_{11} + n_{12} + n_{16} + n_{17} + n_{18} ... \] 的差值，看此值是否為 7 的倍數，例如 864197523。523 + 864 = 1387，1387 - 197 = 1190，190 - 1 = 189，189為 7 的倍數，所以864197523為 7 的倍數。
判斷是否為 8 的倍數：檢查最後三位數是否為 4 的倍數，例如 948574232 的最後三位數為232，232為8的倍數，所以 948574232 為 8 的倍數。
判斷是否為 9 的倍數：將每位數的數字相加，看總和是否為9的倍數，例如 123456789 ==> 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45，45 為 9 的倍數，所以123456789為 9 的倍數。
判斷是否為 10 的倍數：檢查最後一位數是否為 0。
判斷是否為 11 的倍數：假設有一整數 \[ \Large n_n n_{n-1} n_{n-2} n_{n-3} ... n_3 n_2 n_1 \]算出 \[ \Large n_1 + n_3 + n_5 + ... \] 與 \[ \Large n_2 + n_4 + n_6 + ... \] 的差值，看此值是否為 7 的倍數，例如1358024679，1 + 5 + 0 + 4 + 7 = 17，3 + 8 + 2 + 6 + 9 = 28，28 - 17 = 11，11 為 11 的倍數，所以 1358024679 為 11 的倍數。
判斷是否為 13 的倍數：假設有一整數 \[ \Large n_n n_{n-1} n_{n-2} n_{n-3} ... n_3 n_2 n_1 \]算出 \[ \Large n_1 + n_2 + n_3 + n_7 + n_8 + n_9 + n_{13} + n_{14} + n_{15} ... \] 與 \[ \Large n_4 + n_5 + n_6 + n_{10} + n_{11} + n_{12} + n_{16} + n_{17} + n_{18} ... \] 的差值，看此值是否為 13 的倍數，例如 1604938257 ，1 + 938 = 939，604 + 257 = 861，939 - 861 = 78，78 為 13 的倍數，所以1604938257 為 13 的倍數。
參考影片：
判斷是否為 2 的倍數：檢查個位數是否為 0, 2, 4, 6, 8。
判斷是否為 3 的倍數：將每位數的數字相加，看總和是否被3的倍數，例如 123456789 ==> 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45，45 為 3 的倍數，所以123456789為 3 的倍數。
判斷是否為 4 的倍數：檢查最後兩位數是否為 4 的倍數，例如 948574232 的最後兩位數為32，32為4的倍數，所以 948574232 為 4 的倍數。
判斷是否為 5 的倍數：檢查最後一位數是否為0, 5，例如 13424240 的最後一位數為 0 ，13424240 為 5 的倍數。
判斷是否為 6 的倍數：同時為 2 與 3 的倍數者。
判斷是否為 7 的倍數：假設有一整數 \[ \Large n_n n_{n-1} n_{n-2} n_{n-3} ... n_3 n_2 n_1 \]算出 \[ \Large n_1 + n_2 + n_3 + n_7 + n_8 + n_9 + n_{13} + n_{14} + n_{15} ... \] 與 \[ \Large n_4 + n_5 + n_6 + n_{10} + n_{11} + n_{12} + n_{16} + n_{17} + n_{18} ... \] 的差值，看此值是否為 7 的倍數，例如 864197523。523 + 864 = 1387，1387 - 197 = 1190，190 - 1 = 189，189為 7 的倍數，所以864197523為 7 的倍數。
判斷是否為 8 的倍數：檢查最後三位數是否為 4 的倍數，例如 948574232 的最後三位數為232，232為8的倍數，所以 948574232 為 8 的倍數。
判斷是否為 9 的倍數：將每位數的數字相加，看總和是否為9的倍數，例如 123456789 ==> 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45，45 為 9 的倍數，所以123456789為 9 的倍數。
判斷是否為 10 的倍數：檢查最後一位數是否為 0。
判斷是否為 11 的倍數：假設有一整數 \[ \Large n_n n_{n-1} n_{n-2} n_{n-3} ... n_3 n_2 n_1 \]算出 \[ \Large n_1 + n_3 + n_5 + ... \] 與 \[ \Large n_2 + n_4 + n_6 + ... \] 的差值，看此值是否為 7 的倍數，例如1358024679，1 + 5 + 0 + 4 + 7 = 17，3 + 8 + 2 + 6 + 9 = 28，28 - 17 = 11，11 為 11 的倍數，所以 1358024679 為 11 的倍數。
判斷是否為 13 的倍數：假設有一整數 \[ \Large n_n n_{n-1} n_{n-2} n_{n-3} ... n_3 n_2 n_1 \]算出 \[ \Large n_1 + n_2 + n_3 + n_7 + n_8 + n_9 + n_{13} + n_{14} + n_{15} ... \] 與 \[ \Large n_4 + n_5 + n_6 + n_{10} + n_{11} + n_{12} + n_{16} + n_{17} + n_{18} ... \] 的差值，看此值是否為 13 的倍數，例如 1604938257 ，1 + 938 = 939，604 + 257 = 861，939 - 861 = 78，78 為 13 的倍數，所以1604938257 為 13 的倍數。
參考影片：
代數：分配律
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求此題的答案：
\[ \large \frac{ \color{green}{1234} \times \color{blue}{9876} -\color{green}{1234} \times \color{red}{5432}} { \color{blue}{9876} - \color{red}{5432} } . \]
根據分配律，題目可化簡為
\[ \large \frac{ \color{green}{1234} \times ( \color{blue}{9876} - \color{red}{5432})} { \color{blue}{9876} - \color{red}{5432} } . \]
將分子與分母的
\[ \large \color{blue}{9876} - \color{red}{5432} \]
消去得到答案
\[ \large \color{green}{1234} \]
練習題： \[ \large 1234 \times 357 + 1234 \times 643 \] 答案為多少呢？
\[ \large \frac{ \color{green}{1234} \times \color{blue}{9876} -\color{green}{1234} \times \color{red}{5432}} { \color{blue}{9876} - \color{red}{5432} } . \]
根據分配律，題目可化簡為
\[ \large \frac{ \color{green}{1234} \times ( \color{blue}{9876} - \color{red}{5432})} { \color{blue}{9876} - \color{red}{5432} } . \]
將分子與分母的
\[ \large \color{blue}{9876} - \color{red}{5432} \]
消去得到答案
\[ \large \color{green}{1234} \]
練習題： \[ \large 1234 \times 357 + 1234 \times 643 \] 答案為多少呢？