微積分數列問題

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問題一： 假設 \(\{a_n\}\) 為 \(a_ n = n^2 + n\)，\(n\)為自然數，且 \(S_n\) 為 \(\{a_n\}\) 的部分總和，例如 \(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\)。那麼 \(S_2\) 為多少？
答案為8。

問題二：
假設 \(\{a_n\}\) 為 \(a_1 = 1, a_2 = 1 \) 且 \(a_n = a_{n-1} + a_{n -2}\)，對所有 \(n > 2 \) 的自然數，那麼 \(a_6\) 為多少？
答案為8。

問題三：
考慮下面數列：
(1) \(1,3,5,7,9,...\)
(2) 等差數列 \(2,5,8,11,14, ...\)
(3) 等比數列 \(3,9,27,81, ...\)
上述數列中，有幾個數列有正確定義第六項？
答案為2，因為(1)不會知道第六項為多少，但等差與等比數列皆可算出第六項的數。

問題四：
底下何者為等差數列？
A. \( \sqrt{1} , \sqrt{3} , \sqrt{5}, \sqrt{7}, \ldots \)
B. \(11, 22, 33, 44, \ldots \)
C. \( 1, 3, 9, 27, \ldots \)
D. \( -1, 0, 1, -1, 0, 1, \ldots \)

答案為B。

問題五：

若 \(3, a, 13 , b\)為等差級數，那麼a+b為多少？

答案為26。

問題六：

在等差級數\( -110, -106, -102, \ldots \)裡，第幾項會變成正數？

答案為第28項。

問題七：

若一數列 \(\{a_n\}\) 定義為 \(a_1=15, a_{n+1}=a_n+2,\) 且 \(n \in \mathbb{N}.\)。

那麼 \(\{a_n\} \) 的通式為什麼？

答案為\( a_n={2}n+{13} \)

問題八：

此等比數列 \(\{ a_i \}_{i \geq 1} = \{ -7, 21, -63, \ldots, \} \)，\(n\)為多少時會得到 \(a_n = 1701\)？

答案為6。

問題九：
若某一等比級數的前 \(n\) 項總和為  \(S_n=3n^2+2n\)，那麼第24項值為多少？
答案為143。

問題十：
此數列 \( 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{ 14 } \)的值為多少？
答案為 \( 2^{ 15 } - 1\)。

問題十一：
若等比級數的 \(a_4 = 48\) 與 \(a_5 = 96\)，那麼前七項的總合為多少？
答案為 762。

問題十二：
此等比級數\( \frac{ 15 } { 2^0} + \frac{ 15 } { 2^1 } + \frac{ 15 } { 2^2 } + \ldots \)和為多少？
答案為 30。

問題十三：
假設\(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k^2 + k}\)，那 \(S_n = \,\)?
答案為\( n \)，因為\( k^2 + k \)一定為偶數。