排列組合問題

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筆者最近在 brilliant.org 解 Reframing Problems for the AMC 時,看到有一個解題方法,筆者以自己理解的方式詮釋一次。

題目:有五顆相同的籃球要分給三個不同的隊伍,請問有幾種分法?
解法一「個別列出」
假設三個隊伍的名稱為A、B、C,在不考慮排列的情況下,有底下幾種分法(由大到小來組合):
5 0 0 --> 組合一
4 1 0 --> 組合二
3 2 0 --> 組合三
3 1 1 --> 組合四
2 2 1 --> 組合五

加上排列後,
5 0 0 --> 組合一 ==> 3種排列方式
4 1 0 --> 組合二 ==> 6種排列方式
3 2 0 --> 組合三 ==> 6種排列方式
3 1 1 --> 組合四 ==> 3種排列方式
2 2 1 --> 組合五 ==> 3種排列方式
所以總共有 3 + 6 + 6 + 3 + 3 總分法。

解法二『轉換成組合問題』
這方法是將原本的排列組合問題變成排列問題,請先看下圖:
上圖中圓形代表球,長方形代表分割的地方,由上往下分別對應組合一、組合二、組合三、組合四、組合五。由此圖可以看出,原本的問題可以變成組合問題:【從七個相同的東西選兩個出來,有幾種選法?】答案就變成
 \[\binom{7}{2} = 21\]

那原本的問題有沒有變得容易算出呢?

練習題
有十顆相同的糖果要分給四個不同的小朋友時,請問有幾種分法?
 \[\binom{13}{3} = 286\]

參考資料:
[1] https://brilliant.org/practice/reframing-problems-for-the-amc/?p=6

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